求下列线性偏微分方程的通解(其中u=u(x,y)):(1)uxx+cu=0(分C>0,=0,<0);(2)uyy+uy=0.uxx是u关于x的二阶偏导，uyy同理，uy是一阶偏导

Question

求下列线性偏微分方程的通解(其中u = u(x,y)):
(1) uxx + cu = 0 (分C > 0,= 0,< 0);
(2) uyy + uy = 0.
uxx是u关于x的二阶偏导，uyy同理，uy是一阶偏导

Answer 1

1
u'x x+cu=0
xdu/dx+cu=0
du/u=-cdx/x
ln|u|=-cln|x|+lnC1 C1=f(y)+C01
u=C1*x^(-c)
通解u=(f(y)+C01)*x^(-c)
2
u''y+u'y=0
du'y/dy=-u'y
ln|u'y|=-y+lnC0 C0=f(x)+C02
u'y=C0e^(-y)
du/dy=C0e^(-y)
du=C0e^(-y)dy
u=C1-C0e^(-y) C1=g(x)+C03
通解
u=g(x)+C03-(f(x)+C02)e^(-y)