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(2010•武汉四月调考)如图,P为正方形ABCD边BC上任一点,BG⊥AP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,连接BE,CE.(1)求证:BE=BC;(2)∠CBE的平分线交AE于N点,连接DN,求证:BN+DN=2AN;
题目详情
(2010•武汉四月调考)如图,P为正方形ABCD边BC上任一点,BG⊥AP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,连接BE,CE.
(1)求证:BE=BC;
(2)∠CBE的平分线交AE于N点,连接DN,求证:BN+DN=
AN;
(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时,请直接写出CE的长为
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(1)求证:BE=BC;
(2)∠CBE的平分线交AE于N点,连接DN,求证:BN+DN=
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(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时,请直接写出CE的长为
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵BG⊥AP,AG=GE,
∴BG垂直平分线段AE,
∴AB=BE,
在正方形ABCD中,AB=BC,
∴BE=BC;
(2)证明:连接CN,延长BN交CE于H.
自点D作DM⊥AN于M,
显然Rt△ADM≌Rt△ABG,DM=AG,
∵BN平分∠CBE,∴CH=HE,
∵∠CBN=∠EBN,BE=BC,BN=BN,
∴△BCN≌△BEN,
∴CN=NE,△CEN是等腰三角形,
延长AE交DC延长线于F,则有:∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN,
A,B,C,D,N五点共圆,∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN,Rt△BGN都是等腰直角三角形,
DM=
AG=DN,
GN=BN,
AG+
GN=
AN=BN+DN;
(3)根据勾股定理,AP=
=
∴BG垂直平分线段AE,
∴AB=BE,
在正方形ABCD中,AB=BC,
∴BE=BC;
(2)证明:连接CN,延长BN交CE于H.
自点D作DM⊥AN于M,
显然Rt△ADM≌Rt△ABG,DM=AG,
∵BN平分∠CBE,∴CH=HE,
∵∠CBN=∠EBN,BE=BC,BN=BN,
∴△BCN≌△BEN,
∴CN=NE,△CEN是等腰三角形,
延长AE交DC延长线于F,则有:∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN,
A,B,C,D,N五点共圆,∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN,Rt△BGN都是等腰直角三角形,
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(3)根据勾股定理,AP=
AB2+BP2 |
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