如何用泰勒公式求平方根?

Question

如何用泰勒公式求平方根?

Answer 1

泰勒公式可以作为一种近似方法求平方根,而且颇为有效.一般程序如下：
首先要把平方根化为√1+x 的形式,并且使得x非常小,最好趋于0,当然是越小其近似值越精确!
第二步要根据泰勒公式求出√1+x 在0点的展开式,如果是求一般的近似值,展开到二阶导数即可,当然阶数越高,结算结果越精确!这个可以酌情处理.
第三步,根据求出的√1+x 展开式,代入x的值,即可求出平方根的近似值.
比如求√23 的近似值：
√23 =√25-2=5√1-（2/25）,2/25其值较小近于0基本满足泰勒公式的使用条件,当然如果这个值近于1的话,结果就很不精确了.
根据泰勒公式在0点展开式：√1-x ≈1-（1/2)x-(1/4)x^2 此处展开到二阶,代入x=2/25 :
√1-(2/25) ≈0.9584
√23=5√1-(2/25)≈0.9584X5=4.792
经过验证：4.792^2=22.963,这种方法是非常精确地.