若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2．（1）利用配方法求出求根公式；（2）用求根公式求证：x1+x2＝−ba，x1•x2＝ca；（3）设方程12x2−7x+3＝0有两个实数根x1，x2，利用（2）的

Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂．
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求证：x1+x2＝−(b)/(a)，x1•x2＝(c)/(a)；
（3）设方程(1)/(2)x2−7x+3＝0有两个实数根x₁，x₂，利用（2）的结论，不解方程求：①x₁²+x₂²；②(1)/(x21)+(1)/(x22)．

Answer 1

（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，∴两边同时除以a得：
二次项系数化为“1”得：x²+(b)/(a)x+(c)/(a)=0
移项得：x²+(b)/(a)x=-(c)/(a)
配方得：x²+2•x•(b)/(2a)+( (b)/(2a))2=( (b)/(2a))2-(c)/(a)
(x+ (b)/(2a)) 2=(b2−4ac)/(4 a2)
∵a≠0，∴4a²＞0
当b²-4ac≥0时，直接开平方得：
x+(b)/(2a)=(±b2−4ac)/(2a)
∴x=(−b±b2−4ac)/(2a)，
∴x₁=(−b+b2−4ac)/(2a)，x₂=(−b−b2−4ac)/(2a)；

（2）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），
当△≥0时，利用求根公式，得
x₁=(−b)/(2a)+(b2−4ac)/(2a)，x₂=(−b)/(2a)-(b2−4ac)/(2a)．
∵x₁+x₂=(−b)/(2a)+(b2−4ac)/(2a)+(−b)/(2a)-(b2−4ac)/(2a)=-(b)/(a)，
x₁x₂=（ (−b)/(2a)+(b2−4ac)/(2a)）•（ (−b)/(2a)-(b2−4ac)/(2a)）=（ (−b)/(2a)）²-（ (b2−4ac)/(2a)