二次函数的问题,有难度已知抛物线Y=X^2+AX+A-2设Y=X^2+AX+A-2与Y轴交点C,如果过点C平行于X轴的直线与[抛物线有2个不同交点,并设另外一个交点为D,问,三角形QCD能否是等边三角形?若能,求出对应的

Question

二次函数的问题,有难度
已知抛物线Y=X^2+AX+A-2
设Y=X^2+AX+A-2与Y轴交点C,如果过点C平行于X轴的直线与[抛物线有2个不同交点,并设另外一个交点为D,问,三角形QCD能否是等边三角形?若能,求出对应的函数解析式,Q为抛物线顶点,(在X轴下方无须再证)且这小题有两条函数解析式
在上题已知条件下,又设抛物线与X轴的交点之1为A点,则能使三角形ACD的面积等于1/4的抛物线有几条?有4条抛物线符合,要证明,请都写出来
欢迎大家踊跃作答,另外,我是初三的学生,不要用到太高深的知识,还可以再追20分

Answer 1

Y=X^2+AX+A-2=(X+A/2)^2+A-2-A^2/4,
对称轴X=-A/2,顶点Q[（-A/2）,（A-2-A^2/4）]
x=0,y=A-2,C(0,A-2)
过点C平行于X轴的直线为Y=A-2,与抛物线有2个不同交点,另一个交点为D,则
CD=2|-A/2| =|A|,QC=QD
如果三角形QCD是等边三角形,则
QC^2=CD^2=A^2
(-A/2)^2+[（A-2-A^2/4）-(A-2)]^2=A^2
A^2=12
A=±2√3
可知函数解析式为:Y=X^2+2√3X+2√3-2,或Y=X^2-2√3X-2√3-2
△ACD的面积S=1/4
S=|CD*Y(C)|/2=|A|*|A-2|/2=1/4
|(A-1)^2-1|=1/2
(A-1)^2-1=±0.5
(A-1)^2=1±0.5
A-1=±(1±0.5)
A=1±(1±0.5)
A1=1+1+0.5=2.5
A2=1+1-0.5=1.5
A3=1-1+0.5=0.5
A4=1-1-0.5=-0.5
有4条抛物线符合:
Y=X^2+2.5X+0.5
Y=X^2+1.5X-0.5
Y=X^2+0.5X-1.5
Y=X^2-0.5X-2.5