某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．①sin210°+cos240°+sin10°cos40°②sin220°+cos250°+sin20°cos50°③sin240°+cos270°+sin40°cos70°④sin2（-15°）+cos215°+sin（-15°）cos15°

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．
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Answer 1

（1）∵以下4个式子等于同一个常数，①sin²210°+cos²240°+sin10°cos40°，
②sin²220°+cos²250°+sin20°cos50°，
③sin²240°+cos²270°+sin40°cos70°，
④sin²2（-15°）+cos²215°+sin（-15°）cos15°，
而由④可得sin²2（-15°）+cos²215°+sin（-15°）cos15°=1-(1)/(2)sin30°=(3)/(4)，
故这个常数等于(3)/(4)．
（2）由（1）可得 sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4)，
推广可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=(3)/(4)．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (1)/(2)12111222sin30°=(3)/(4)，
故这个常数等于(3)/(4)．
（2）由（1）可得 sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4)，
推广可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=(3)/(4)．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444，
故这个常数等于(3)/(4)．
（2）由（1）可得 sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4)，
推广可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=(3)/(4)．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444．
（2）由（1）可得 sin²210°+cos²240°+sin10°cos40°=(3)/(4)，
推广可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=(3)/(4)．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444，
推广可得sin²2α+cos²2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=(3)/(4)．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444．
证明：∵sin²2α+cos²2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²2α+((√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． ((√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

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33222cosα-(1)/(2)12111222sinα)2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． 2+sinα[(√(3))/(2)cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

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33222cosα-(1)/(2)sinα]
=sin²α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (1)/(2)12111222sinα]
=sin²2α+(3)/(4)cos² α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444cos² 2 α+(1)/(4)sin²α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (1)/(4)14111444sin²2α-(√(3))/(2)sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

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33222sinαcosα+(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

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33222sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (1)/(2)12111222sin²2α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444sin²2α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444cos²2α=(3)/(4)，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444，
∴sin²210°+cos²240°+sin10°cos40°=(3)/(4) 成立． (3)/(4)34333444 成立．