为什么可以用布丰的投针实验算出圆周率的值?

Question

为什么可以用布丰的投针实验算出圆周率的值?

Answer 1

1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法,即著名的蒲丰投针问题.这一方法的步骤是：
　　1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为d的平行线.
　　2) 取一根长度为l（l　　3）计算针与直线相交的概率．
　　18世纪,法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”,记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线,将一根长度为l（l　　p=2l/(πd) π为圆周率
　　利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值.下面是一些资料
　　实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值
　　沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596
　　史密斯 1855 3204 1219 3.1554
　　德摩根 1680 600 383 3.137
　　福克斯 1884 1030 489 3.1595
　　拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929
　　赖纳 1925 2520 859 3.1795
　　布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到一定的推动作用.
　　像投针实验一样,用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量,这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）.蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的.这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用.
　　法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验.并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计算公式P=2L/πd(其中L是针的长度,d是平行线间的距离,π是圆周率).
　　由于它与π有关,于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值.
　　此外,随便说出3个正数,以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关.
　　值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验,它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关,然后利用试验结果来估计这个量,随着计算机等现代技术的发展,这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法.
　　投针试验——计算π的最为稀奇的方法之一
　　计算π的最为稀奇的方法之一,要数18世纪法国的博物学家C·蒲丰和他的投针实验：在一个平面上,用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针,扔到画了线的平面上；如果针与线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则则是不利的．
　　蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d,那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多,由此能求出越为精确的π的值．
　　公元1901年,意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针,给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!