立体几何球中四点半径为r的球上有四个点A、B、C、D,其中AB、AC、AD两两垂直,求三角形ABC、三角形ACD、三角形ADB面积和的最小值

Question

立体几何 球中四点
半径为r的球上有四个点A、B、C、D,其中AB、AC、AD两两垂直,求三角形ABC、三角形ACD、三角形ADB面积和的最小值

Answer 1

可以将图形补成一个立方体,易证该立方体内接于球.因此,满足：
AB^2+AC^2+AD^2=4r^2
面积之和为1/2(AB*AC+AB*AD+AC*AD),由不等式知识易知,当AB=AC=AD时面积最大,而此时各边长度满足AB^2=AC^2=AD^2=4/3r^2.
因此面积之和为：
3/2*4/3r^2=2r^2