已知在△ABC中，∠B=90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SC．

Question

已知在△ABC中，∠B=90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SC．

Answer 1

证明：∵SA⊥面ABC，
BC⊆平面ABC，
∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵AN⊆平面SAB，
∴AN⊥BC；
由上述证明知AN⊥BC，
∵AN⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AN⊥平面SBC，
∵SC⊆平面SBC，
∴SC⊥AN，又AM⊥SC，且AM∩AN=A，
∴SC⊥平面AMN，
∴MN⊥SC．