（12分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD＝AD＝2CE＝2.（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；（2）求该几何体的体积；

Question

（12 分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD＝AD＝2CE＝2 .
（1）若 N 为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（2）求该几何体的体积；

Answer 1

（12 分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD＝AD＝2CE＝2 .
（1）若 N 为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（2）求该几何体的体积；

（1）证明：连结AC与BD交于点F, 连结NF，

∵F为BD的中点，N为PB的中点
∴ NF//PD且NF＝ PD
又EC//PD且 EC＝ PD
∴NF//EC且NF＝EC
∴四边形NFCE为平行四边形
∴NE//FC
∵PD⊥平面ABCD，，AC 平面ABCD
∴PD⊥AC， ∵AC⊥BD且PD ∩BD=D
∴AC⊥平面PBD ∵EN//AC
∴NE⊥平面PBD
（2）∵PD⊥平面ABCD，，BC 平面ABCD 
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面DBC＝CD ∴BC⊥平面PDCE   
∵
∴四棱锥B－CEPD的体积

∵三棱锥P－ABD的体积

略