怎么证明C（n,r）r从0到n的和等于2^n

Question

怎么证明C（n,r）r从0到n的和等于2^n

Answer 1

可对n用数学归纳法证明之：
（1）当n=0,1时,结论显然成立（可以自己验证）
C(0,0) = 1 = 2^0,C(1,0) + C(1,1) = 2 = 2^1
（2）假设当n = k时,结论成立
即有C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k-1) + C(k,k) = 2^k
（3）当n=k+1时,
由归纳假设,
并由结论C(n,m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m) （可以直接展开证明）
C(k+1,0) + C(k+1,1) + C(k+1,2) + ...+ C(k+1,k) + C(k+1,k+1)
=C(k+1,0) + [C(k,0) + C(k,1)] + [C(k,1)+C(k,2)] + ...+ [C(k,k-1) + C(k,k)] + C(k+1,k+1)
(将中括号中左边的组合数分为一组,右边的分为令一组)
=C(k+1,0) + [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k-1)] + [C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k)] + C(k+1,k+1)
（显然C(k+1,0)=C(k,0),凑入右边中括号中 C(k+1,k+1)=C(k,k)凑入左边中括号中,可得下式）
= [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k-1) + C(k,k)] + [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k)]
（再由归纳假设）
=2^k + 2^k
=2^(k+1)
∴当n=k+1时,结论仍然成立
综上,由（1）（2）（3）,根据数学归纳法,可知结论对于任意n∈N成立
即结论“C（n,r）r从0到n的和等于2^n”成立
证毕
以上是我简单的解法,若有问题的话可以指出.