:如何证明：如果X趋向于正无穷时f(x)的导函数趋向于A且A大于零,则X趋向于正无穷时f(x)趋向于正无穷?

Question

:如何证明：如果X趋向于正无穷时f(x)的 导函数 趋向于A且A大于零,则X趋向于正无穷时f(x)趋向于正无穷?

Answer 1

f'(x)-A/2趋向于A/2>0,由保号性,存在X>0,当x>X时有f'(x)-A/2>0,即f'(x)>A/2.
即x0=X+1,任取x>x0,在[x0,x]上应用拉格朗日中值定理知,存在t介于x0和x之间,使得
f(x)-f(x0)=f'(t)(x-x0),即有 f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x))>f(x0)+(A/2)(x-x0).
显然当x趋向于正无穷时,有f(x0)+(A/2)(x-x0)-->正无穷,于是也有f(x)-->正无穷..