已知两个自然数的差为15,他们的最大公约数与最小公倍数的和为111,求这两个自然数

Question

已知两个自然数的差为15,他们的最大公约数与最小公倍数的和为111,求这两个自然数

Answer 1

设这两个自然数为an和bn,其中a、b、n是自然数,且a＞b.
根据题意an-bn=15；n是最大公约数,abn是最小公倍数,n+abn=111.
可见：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的和一定是最大公约数的倍数.
两个自然数的差也一定是最大公约数的倍数.
已知两个自然数的差为15,他们的最大公约数与最小公倍数的和为111.
而111=3×37×1,15=5×3×1
所以这两个自然数的最大公约数是3,那么最小公倍数是111-3=108,
108=3×36,
36=3×12（不符合）=4×9,
所以这两个自然数是12和27