已知函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14，求实数a的值．

Question

已知函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14，求实数a的值．

Answer 1

令t=a^x＞0
则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2
结合二次函数的图象与性质可知该函数在（0，+∞）上是单调增函数
结合x∈[-1，1]，
则当a＞1时，t＝ax∈[(1)/(a)，a]，所以ymax＝a2+2a−1＝14，解得a=3或-5（舍），所以此时a=3符合题意；
当0＜a＜1时，t＝ax∈[a，(1)/(a)]，所以ymax＝((1)/(a))2+(2)/(a)−1＝14，解得(1)/(a)=3或-5（舍），故a=(1)/(3)符合题意；
综上，所求实数a的值为3或(1)/(3)．