如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，

Question

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（1）当θ=(2π)/(3) 时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．

Answer 1

（1）由题意得PQ=50-50cosθ，
从而当θ=(2)/(3)π时，PQ=50-50cos(2)/(3)π=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，所以tan∠NPQ=(NQ)/(PQ)=(6-sinθ)/(1-cosθ)，tan∠MPQ=(MQ)/(PQ)=(6-5sinθ)/(5-5cosθ)．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）=(tan∠NPQ-tan∠MPQ)/(1+tan∠NPQ•tan∠MPQ)
=((6-sinθ)/(1-cosθ)-(6-5sinθ)/(5-5cosθ))/(1+(6-sinθ)/(1-cosθ)×(6-5sinθ)/(5-5cosθ))=(12(1-cosθ))/(23-18sinθ-5cosθ)．
令g（θ）=(12(1-cosθ))/(23-18sinθ-5cosθ)．θ∈（0，π）
则g′(θ)=(12×18(sinθ+cosθ-1))/((23-18sinθ-5cosθ)2)，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得θ=(π)/(2)．
当θ∈(0，(π)/(2))时，g′（θ）>0，g（θ）为增函数；当x∈((π)/(2)，π)时，g′（θ）<0，g（θ）为减函数．
所以当θ=(π)/(2)时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为0<∠MPQ<∠NPQ<(π)/(2)．所以0<∠MNP<(π)/(2)．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当θ=(π)/(2)时，∠MPN取得最大值．