已知数列{an}中,an≠0,a1=1\2,前n项和Sn满足:an=2Sn^2\2Sn-1(n≥2)（1）求证数列{1/Sn}为等差数列（2）求{an}通项公式

Question

已知数列{an}中,an≠0,a1=1\2,前n项和Sn满足:an=2Sn^2\2Sn-1(n≥2)（1）求证数列{1/Sn}为等差数列
（2）求{an}通项公式

Answer 1

(1)证明：∵an＝Sn－Sn-1 ∵an＝2Sn²/(2Sn－1)
∴(Sn－Sn-1)(2Sn－1)＝2Sn² ∴2Sn²－Sn－2SnSn-1＋Sn-1＝2Sn²
∴Sn＋2SnSn-1－Sn-1＝0 ∴1/Sn－1/Sn-1＝2 ∴数列{1/Sn}为等差数列
(2)∵1/Sn－1/Sn-1＝2 ∴1/Sn＝1/S1＋2(n－1)＝1/a1＋2(n－1)＝2n ∴Sn＝1/(2n)
∴an＝Sn－Sn-1＝1/(2n)－1/2(n－1)＝﹣1/[2n(n－1)]