设有一正椭圆柱体，其底面的长、短分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成α角（0＜α＜π2）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V．

Question

设有一正椭圆柱体，其底面的长、短分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成α角（0＜α＜(π)/(2)）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V．

Answer 1

【方法一】以垂直于y轴的平行平面去截楔形体，所得截面为直角三角形，两直角边分别为 a√(1−(y2)/(b2)) 与 a√(1−(y2)/(b2))tanα，
故截面面积为 S（y）=(a2)/(2)(1−(y2)/(b2)) tan α．
楔形体体积为：
V＝

∭

Ω

dxdydz=

∫

b −b

S(y) dy 
=

∫

b −b

(a2)/(2)(1−(y2)/(b2)) tan α dy 
=

a2tan α ∫

b 0

(1−(y2)/(b2)) 
=(2a2b)/(3)tan α．

【方法二】以垂直于x轴的平行平面去截楔形体，所得截面为矩形，其边长分别为 2b

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√(1−(x2)/(a2))