已知一动圆M与圆C1:x^2+y^2+8x-9=0和圆C2:x^2+y^2-8x+15=0都外切（2）求动圆M的圆心的轨迹E的方程（3）过点（4,0）的直线L的斜率为2与（1）中的轨迹E交于A、B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积

Question

已知一动圆M与圆C1:x^2+y^2+8x-9=0和圆C2:x^2+y^2-8x+15=0都外切
（2）求动圆M的圆心的轨迹E的方程
（3）过点（4,0）的直线L的斜率为2与（1）中的轨迹E交于A、B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积

Answer 1

2,设动圆M的半径为r,圆心为(x,y),又圆C1:(x+4)^2+y^2=25,圆C2:(x-4)^2+y^2=1
根据题意MC1=5+r,MC2=1+r,所以MC1-MC2=4,C1C2=8,根据双曲线的定义知点M的轨迹为双曲线
x^2/4-y^2/12=1,(x>=2)的右支
3.联立y=2(x-4)与x^2/4-y^2/12=1的方程组的解(x1,y1),(x2,y2)为A,B两点
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=5(x1-x2)^2=5(x1+x2)^2-20x1x2
把y=2(x-4)代入x^2/4-y^2/12=1并利用根与系数关系得x1+x2=32,x1x2=76
所以|AB|=60
点O到直线AB:y=2x-8的距离为8/根号5
所以三角形AOB的面积为48根号5