设f(x)是x的多项式,f(x)除以2(x+1)和3（x-2）的余式分别是1和-2,那么5f（x）除以x^2-x-2的余式是多少?

Question

设f(x)是x的多项式,f(x)除以2(x+1)和3（x-2）的余式分别是1和-2,那么5f（x）除以x^2-x-2的余式是多少?

Answer 1

设关于x的多项式为f(x):
f(x)-1 = p(x)*2(x+1)
f(x)+2 = q(x)*3(x-2)
因为x^2-x-2=（x+1）（x-2）
所以(f(x)-1)*(x-2) = 2p(x)*(x+1)*(x-2)
(f(x)+2)*(x+1) = 3q(x)*(x-2)*(x+1)
两式相减
得
-3f(x)-3x = [2p(x)-3q(x)]*(x-2)*(x+3)
f(x) =[2p(x)-3q(x)]*(x-2)*(x+3)]-x
5f（x）=5*[2p(x)-3q(x)]*(x-2)*(x+3)]-5x
所以余数是 ：-5x