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设n为正整数,A=2004n,A被7除余数为2,A被11除余数为3,则n的最小值是.
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设n为正整数,A=2004n,A被7除余数为2,A被11除余数为3,则n的最小值是______.
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答案和解析
∵2002=7×11×26,则A=2004n=(7a+2)n=(11b+2)n
其中a=11×26,b=7×26均为整数.
对A=(7a+2)n进行展开,按a的降幂排列,显然有a的项必有7的出现,也就是说展开式除常数项外全部能被7整除.余数只看常数项即可.
同理,对A=(11a+2)n进行展开.也可以得到,余数只看常数项即可.
展开后的常数项均为2n,即2的n次方.
显然,2n=7x+2且2n=11y+3
这里x和y均为整数.
20=1,不合题意,
21=2,不合题意,
22=4,不合题意,
23=8,不合题意,
24=16,不合题意,
25=32,不合题意,
26=64,不合题意,
27=128,不合题意,
28=256,不合题意,
29=512,不合题意,
210=1024,合题意.
故n的最小值为10.
故答案为:10.
其中a=11×26,b=7×26均为整数.
对A=(7a+2)n进行展开,按a的降幂排列,显然有a的项必有7的出现,也就是说展开式除常数项外全部能被7整除.余数只看常数项即可.
同理,对A=(11a+2)n进行展开.也可以得到,余数只看常数项即可.
展开后的常数项均为2n,即2的n次方.
显然,2n=7x+2且2n=11y+3
这里x和y均为整数.
20=1,不合题意,
21=2,不合题意,
22=4,不合题意,
23=8,不合题意,
24=16,不合题意,
25=32,不合题意,
26=64,不合题意,
27=128,不合题意,
28=256,不合题意,
29=512,不合题意,
210=1024,合题意.
故n的最小值为10.
故答案为:10.
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