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如图,在平面直角坐标系中,A(0,2)、B(2,0)、C(-2,0).(1)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线MN于点H.证明:PA=PH.(2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰
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如图,在平面直角坐标系中,A(0,2)、B(2,0)、C(-2,0).
(1)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线MN于点H.证明:PA=PH.
(2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转,且AP=PQ,∠APQ=90°,连接BQ,点G为BQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
(1)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线MN于点H.证明:PA=PH.
(2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转,且AP=PQ,∠APQ=90°,连接BQ,点G为BQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
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答案和解析
(1)∵A(0,2)、B(2,0)、C(-2,0).
∴OA=OB=OC,
∴△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,
∴∠6=∠7=45°,
如图1,过点P作PG∥AB交y轴与G,则∠4=∠6=45°,
∴OP=OG,
∴AO+OG=OB+OP,
即AG=PB,
∵AP⊥PH,
∴∠2+∠5=90°,
∵∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠2,
∵MN⊥AB,
∴∠3+∠7=90°,
∴∠3=45°,
∴∠3=∠4,
在△APG和△PHB中,
,
∴△APG≌△PHB,
∴PA=PH.
(2)OG=PG,OG⊥PG,
理由:如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,
在△PQG和△BRG中,
,
∴△PQG≌△BRG,
∴PQ=BR,∠5=∠GBR,
∴PQ∥BR,
∵AP⊥PQ,
延长AP交BR于S,交OB于T,则AP⊥BR,
∵∠AOB=∠ASB=90°,∠ATR=∠BTS,
∴∠α=∠β,
∵PA=PQ,PQ=BR,
∴PA=BR,
在△PAO和△RBO中,
∴△PAO≌△RBO,
∴PO=OR,∠1=∠2,
∵∠1+∠POB=90°,
∴∠POB+∠2=90°,
∴△POR为等腰直角三角形,
∵PG=GR,
∴OG⊥PG,OG=PG.
∴OA=OB=OC,
∴△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,
∴∠6=∠7=45°,
如图1,过点P作PG∥AB交y轴与G,则∠4=∠6=45°,
∴OP=OG,
∴AO+OG=OB+OP,
即AG=PB,
∵AP⊥PH,
∴∠2+∠5=90°,
∵∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠2,
∵MN⊥AB,
∴∠3+∠7=90°,
∴∠3=45°,
∴∠3=∠4,
在△APG和△PHB中,
|
∴△APG≌△PHB,
∴PA=PH.
(2)OG=PG,OG⊥PG,
理由:如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,
在△PQG和△BRG中,
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∴△PQG≌△BRG,
∴PQ=BR,∠5=∠GBR,
∴PQ∥BR,
∵AP⊥PQ,
延长AP交BR于S,交OB于T,则AP⊥BR,
∵∠AOB=∠ASB=90°,∠ATR=∠BTS,
∴∠α=∠β,
∵PA=PQ,PQ=BR,
∴PA=BR,
在△PAO和△RBO中,
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∴△PAO≌△RBO,
∴PO=OR,∠1=∠2,
∵∠1+∠POB=90°,
∴∠POB+∠2=90°,
∴△POR为等腰直角三角形,
∵PG=GR,
∴OG⊥PG,OG=PG.
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