早教吧作业答案频道 -->其他-->
(2009•上海一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数图象经过A(1,-2)、B(3,-2)和C(0,1)三点,顶点为P;(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点P的坐标;(2
题目详情
(2009•上海一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数图象经过A(1,-2)、B(3,-2)和C(0,1)三点,顶点为P;
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点P的坐标;
(2)连接PC、BC,求∠BCP的正切值;
(3)能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似?若能,请确定符合条件的点Q共有几个,并请直接写出它们的坐标;若不能,请说明理由.
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点P的坐标;
(2)连接PC、BC,求∠BCP的正切值;
(3)能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似?若能,请确定符合条件的点Q共有几个,并请直接写出它们的坐标;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,-2),B(3,-2),C(0,1)三点,
则:
,
解得
;
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+1=(x-2)2-3;
∴顶点P的坐标为(2,-3);
(2)∵B(3,-2),C(0,1),P(2,-3);
∴BP2=2,BC2=18,CP2=20,
即BP2+BC2=CP2;
故△BCP是直角三角形,且∠CBP=90°;
∴tan∠BCP=
=
;
(3)此题分三种情况讨论:如图;
①∠QCA=90°,则△QCA∽△PBC或△QCA∽△CBP;
得CQ:CA=1:3或CQ:CA=3:1;
过Q作QE⊥y轴于E,则△QEC∽△CGA;
∵QC:CA=3:1,
∴QE=3CG=9,CE=3AG=3,即OE=4;
∴Q(9,4),
同理可求得Q′(1,
);
②∠CQA=90°,可过A作直线AF∥y轴,交x轴于F,过C作CQ⊥AF于Q,
此时AQ:CQ=BP:BC=1:3,
又因为∠CQA=∠CBP=90°,
则△CQA∽△PBC;
∴Q(1,1);
③∠QAC=90°,由于Q在第一象限,此时只有一种情况:△QAC∽△CBP,
得:QA:AC=3:1,
即AQ=3AC=3
;
易证得∠CAQ=∠AFH=∠QHM,
所以tan∠AHF=tan∠QHM=
;
即FH=3AF=6,则AH=2
,QH=AQ-AH=
则:
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+1=(x-2)2-3;
∴顶点P的坐标为(2,-3);
(2)∵B(3,-2),C(0,1),P(2,-3);
∴BP2=2,BC2=18,CP2=20,
即BP2+BC2=CP2;
故△BCP是直角三角形,且∠CBP=90°;
∴tan∠BCP=
BP |
BC |
1 |
3 |
(3)此题分三种情况讨论:如图;
①∠QCA=90°,则△QCA∽△PBC或△QCA∽△CBP;
得CQ:CA=1:3或CQ:CA=3:1;
过Q作QE⊥y轴于E,则△QEC∽△CGA;
∵QC:CA=3:1,
∴QE=3CG=9,CE=3AG=3,即OE=4;
∴Q(9,4),
同理可求得Q′(1,
4 |
3 |
②∠CQA=90°,可过A作直线AF∥y轴,交x轴于F,过C作CQ⊥AF于Q,
此时AQ:CQ=BP:BC=1:3,
又因为∠CQA=∠CBP=90°,
则△CQA∽△PBC;
∴Q(1,1);
③∠QAC=90°,由于Q在第一象限,此时只有一种情况:△QAC∽△CBP,
得:QA:AC=3:1,
即AQ=3AC=3
10 |
易证得∠CAQ=∠AFH=∠QHM,
所以tan∠AHF=tan∠QHM=
1 |
3 |
即FH=3AF=6,则AH=2
10 |
作业搜用户
2017-11-11
看了 (2009•上海一模)如图,...的网友还看了以下:
如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长得速度运动t秒(t大于0), 2020-05-15 …
.平面直角坐标系中,平行四边形ABCD如图放置,点A、C的坐标分别为(3,0)(-1,0)平面直角 2020-05-16 …
帮我看道14年湖南高考文科的数学题第10题在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,根 2020-06-10 …
如果向量a=(1,0,1),b=(O,1,1)分别平行于平面c与d,且都与这两个平面的交线L垂直, 2020-06-27 …
怎么利用空间向量求线面夹角譬如:直线B'D与平面ACD'的夹角已知向量B'D=(-1,-1,-1) 2020-07-01 …
(2004年河北)如下图所示,质量不计的光滑木板AB长1.6m,可绕固定点O转动,离O点0.4m的 2020-07-04 …
椭圆X平方/a平方+Y平方/b平方=1(a>b>0)与直线X+Y=1交于P,Q两点,且OP垂直于O 2020-07-20 …
数学题在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(1,2),点A(1,0),B(cosX,T) 2020-08-01 …
已知平面π:x+2y-3z+4=0点O(0,0,0),A(1,1,4),B(0,0,4),E(1,3 2020-10-31 …
一道北大自招题,求详细解析答案对的有追加20分坐标系o-xyz坐标系内,xoy平面系内0坐标系o-x 2020-12-21 …