如图，抛物线y=12x2-x-32与x轴交于A、B两点，D为y轴上一点，E为抛物线上一点，是否存在这样的点D和E，使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出D、E的坐标；若不存在，请说

Question

如图，抛物线y=(1)/(2)x²-x-(3)/(2)与x轴交于A、B两点，D为y轴上一点，E为抛物线上一点，是否存在这样的点D和E，使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出D、E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵y=(1)/(2)x²-x-(3)/(2)，
∴当y=0时，(1)/(2)x²-x-(3)/(2)=0，
解得x=-1或3，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（3，0），
AB=3-（-1）=4．
假设存在这样的点D和E，能够使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形．分两种情况：
①当AB为平行四边形的边时，则DE=AB=4．
∵D为y轴上一点，D点横坐标为0，
∴E点横坐标为：0+4=4或0-4=-4，
∴E₁（4，(5)/(2)），E₂（-4，(21)/(2)），
∴D₁（0，(5)/(2)），D₂（0，(21)/(2)）；
②当AB为平行四边形的对角线时，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB的中点坐标为（1，0），
∵D为y轴上一点，D点横坐标为0，
∴E点横坐标为：2，
∴E₃（2，-(3)/(2)），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴点D₃的坐标为（0，(3)/(2)），
综上可知，存在这样的点D和E，能够使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形，此时D₁（0，(5)/(2)），D₂（0，(21)/(2)），D₃（0，(3)/(2)），E₁（4，(5)/(2)），E₂（-4，(21)/(2)），E₃（2，-(3)/(2)）．