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已知抛物线y=x2+bx+c,经过点A(0,5)和点B(3,2)(1)求抛物线的解析式:(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存
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已知抛物线y=x2+bx+c,经过点A(0,5)和点B(3,2)
(1)求抛物线的解析式:
(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,且⊙Q与两坐轴都相切时,求半径r的值.
(1)求抛物线的解析式:
(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,且⊙Q与两坐轴都相切时,求半径r的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,得;
解得
(3分)
抛物线的解析式为y=x2-4x+5(1分)
(2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况.
设点P坐标为(x0,y0),则
当⊙P与y轴相切时,有|x0|=1,x0=±1
由x0=-1,得y0=1-4×(-1)+5=10,
∴P1(-1,10),(1分)
由x0=1,得y0=1 2-4×1+5=2,
∴P2(1,2)(1分)
当⊙P与x轴相切时有|y0|=1
∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方.
∴y0=1
由y0=1,得x02-4x0+5=1,
解得x0=2,
则P3的坐标是(2,1)![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533727828-9964.jpg)
综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:
P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1)(2分)
(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时,有y=±x
由y=x得x2-4x+5=x,即x2-5x+5=0,
解得x=
(2分)
由y=-x,得x2-4x+5=-x.
即x2-3x+5=0,此方程无解(1分)
∴⊙Q的半径为r=
.(1分)
![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533727828-9769.jpg)
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解得
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抛物线的解析式为y=x2-4x+5(1分)
(2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况.
设点P坐标为(x0,y0),则
当⊙P与y轴相切时,有|x0|=1,x0=±1
由x0=-1,得y0=1-4×(-1)+5=10,
∴P1(-1,10),(1分)
由x0=1,得y0=1 2-4×1+5=2,
∴P2(1,2)(1分)
当⊙P与x轴相切时有|y0|=1
∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方.
∴y0=1
由y0=1,得x02-4x0+5=1,
解得x0=2,
则P3的坐标是(2,1)
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综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:
P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1)(2分)
(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时,有y=±x
由y=x得x2-4x+5=x,即x2-5x+5=0,
解得x=
5±
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由y=-x,得x2-4x+5=-x.
即x2-3x+5=0,此方程无解(1分)
∴⊙Q的半径为r=
5±
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