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在平面直角坐标系xoy中,以点A(3,0)为圆心,5为半径的圆与x轴相交于点B、C(点B在点C的左边),与y轴相交于点D、M(点D在点M的下方).(1)求以直线x=3为对称轴,且经过D、C两点的抛
题目详情
在平面直角坐标系xoy中,以点A(3,0)为圆心,5为半径的圆与x轴相交于点B、C(点B在点C的左边),与y轴相交于点D、M(点D在点M的下方).
(1)求以直线x=3为对称轴,且经过D、C两点的抛物线的解析式;
(2)若E为直线x=3上的任一点,则在抛物线上是否存在这样的点F,使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求以直线x=3为对称轴,且经过D、C两点的抛物线的解析式;
(2)若E为直线x=3上的任一点,则在抛物线上是否存在这样的点F,使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图,∵圆以点A(3,0)为圆心,5为半径,
∴根据圆的对称性可知 B(-2,0),C(8,0).
连接AD.
在Rt△AOD中,∠AOD=90°,OA=3,AD=5,
∴OD=4.
∴点D的坐标为(0,-4).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx-4,
又∵抛物线经过点C(8,0),且对称轴为x=3,
∴
解得
∴所求的抛物线的解析式为 y=
x2−
x−4.
(2)存在符合条件的点F,使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
分两种情况.
Ⅰ:当BC为平行四边形的一边时,
必有 EF∥BC,且EF=BC=10.
∴由抛物线的对称性可知,
存在平行四边形BCEF1和平行四边形CBEF2.如(图1).
∵E点在抛物线的对称轴上,∴设点E为(3,e),且e>0.
则F1(-7,t),F2(13,t).
将点F1、F2分别代入抛物线的解析式,解得 t=
.
∴F点的坐标为F1(−7,
)或F2(13,
).
Ⅱ:当BC为平行四边形的对角线时,
必有AE=AF,如(图2).
∵点F在抛物线上,∴点F必为抛物线的顶点.
由y=
x2−
x−4=
(x−3)2−
,
知抛物线的顶点坐标是(3,−
∴根据圆的对称性可知 B(-2,0),C(8,0).
连接AD.
在Rt△AOD中,∠AOD=90°,OA=3,AD=5,
∴OD=4.
∴点D的坐标为(0,-4).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx-4,
又∵抛物线经过点C(8,0),且对称轴为x=3,
∴
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解得
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∴所求的抛物线的解析式为 y=
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(2)存在符合条件的点F,使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
分两种情况.
Ⅰ:当BC为平行四边形的一边时,
必有 EF∥BC,且EF=BC=10.
∴由抛物线的对称性可知,
存在平行四边形BCEF1和平行四边形CBEF2.如(图1).
∵E点在抛物线的对称轴上,∴设点E为(3,e),且e>0.
则F1(-7,t),F2(13,t).
将点F1、F2分别代入抛物线的解析式,解得 t=
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∴F点的坐标为F1(−7,
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Ⅱ:当BC为平行四边形的对角线时,
必有AE=AF,如(图2).
∵点F在抛物线上,∴点F必为抛物线的顶点.
由y=
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知抛物线的顶点坐标是(3,−
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