给定直线m：y=2x-16，抛物线：y2=2px（p>0）．（1）当抛物线的焦点在直线m上时，确定抛物线的方程；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在

Question

给定直线m：y=2x-16，抛物线：y²=2px（p>0）．
（1）当抛物线的焦点在直线m上时，确定抛物线的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的方程．

Answer 1

（1）抛物线：y²=2px（p>0）的焦点坐标为（(p)/(2)，0），
代入直线m得：p-16=0，即p=16，
则抛物线解析式为y²=32x；
（2）把y=8代入抛物线解析式得：x=2，即A（2，8），
∵F（8，0）为△ABC的重心，
∴

(xA+xB+xC)/(3)=8

(yA+yB+yC)/(3)=0

，
整理得：

xB+xC=22

yB+yC=-8

，
由

yB2=32xB

yC2=32xC

，整理得（y_B+y_C）（y_B-y_C）=32（x_B-x_C），即(yB-yC)/(xB-xC)=(32)/(yB+yC)=-4=k_BC，
∵BC的中点坐标为（11，-4），
∴BC的直线方程为y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0．