抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数

Question

抛物线 的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB= ，求点M的坐标．

Answer 1

抛物线 的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB= ，求点M的坐标．

（1）y= x ² +x+m= （x+2） ² +（m﹣1）
∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）
∵顶点在直线y=x+3上，
∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；
（2）∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为： a ² +a+2，即点N（a， a ² +a+2）过点F作FC⊥NB于点C，
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a ² +a，
∴NF ² =NC ² +FC ² =（ a ² +a） ² +（a+2） ² ，=（ a ² +a） ² +（a ² +4a）+4，
而NB ² =（ a ² +a+2） ² ，=（ a ² +a） ² +（a ² +4a）+4
∴NF ² =NB ² ，NF=NB；
（3）M（﹣3， ）．