直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.

Question

直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）
问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点
则A点坐标为 （-1,0） B点坐标为（0,3）
设抛物线的方程为 y=ax²+bx+c 把A,B,C三点坐标代入得
a-b+c=0 (1)
c=3 (2)
9a+3b+c=0 (3)
把（2）代入（1）得 b=3+a (4)
把（2）(4) 代入（3）得 9a+3(3+a)+3=0 a=-1
则b=2
抛物线的方程为 y=-x²+2x+3
AO=1 AC=4 BO=3
设存在一点P(m,n),则
BP=m
四边形ABPC的面积=三角形AOB的面积+三角形POB的面积+三角形POC的面积
=1/2*AO*BO+1/2*BO*m+1/2*3*n=3/2+3m/2+3n/2
=3/2*(1+m+n）
因为P点在抛物线上,所以n=-m²+2m+3=-(m²-2m-3)=-(m-2)(m+1) (5)
所以
四边形ABPC的面积=3/2*(1+m+n）=3/2（1+m-m²+2m+3)
=3/2(-m²+3m+4)=-3/2(m²-3m-4)=-3/2(m-4)(m+1)=3/2(4-m)(m+1)
又P点在第一象限,所以m＞0 n＞0
由（5）得 0＜m＜2
因为当4-m=m+1时,3/2(4-m)(m+1)有最大值,所以
m=3/2 (符合条件）
代入（5） n=-(3/2-2)(3/2+1)=5/4
因此在第一象限抛物线上存在点P,使四边形ABPC的面积最大
P点的坐标（3/2,5/4）