试求抛物线（y-2）^2=x-1和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x轴所围成的平面图形面积.

Question

试求抛物线（y-2）^2=x-1和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x轴所围成的平面图形面积.

Answer 1

(y - 2)² = x - 1是抛物线y² = x向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的.新顶点为C(1, 2)


(y - 2)² = x -1两边对x求导, 2(y - 2)y' = 1
y' = 1/[2(y - 2)]
y = 3, 切线斜率k = 1/2
(3 - 2)² = x -1, x = 2, 切点B(2, 3)
y = 0, (0 - 2)² = x - 1, x = 5
抛物线(y - 2)² = x - 1和x轴交于D(5, 0)


切线: y - 3 = (1/2)(x - 2), y = x/2 + 2
y = 0, x = -4
切线和x轴交于A(-4, 0)
见图,三者所围的区域有三部分:
x = 1左侧的三角形(S1)
x = 1右侧, 切线下方和抛物线上半部(y = 2 + √(x - 1))所围的区域(S2)
x = 1右侧, 抛物线下半部(y = 2 - √(x - 1)和x轴所围的区域(S3)


S1 = (1/2)(1 + 4)*(1*1/2 + 2) = 25/4
S2 = ∫₁²[x/2 + 2 - 2 - √(x - 1)]dx = [x²/4 - (2/3)√(x - 1)³]|₁²
= 1 - 2/3 - (1/4 - 0)
= 1/12
S3 = ∫₁⁵[2 - √(x - 1) - 0]dx = [2x - (2/3)√(x - 1)³]|₁⁵
= (10 - 16/3) - (2 - 0)
= 8/3


S = S1 + S2 + S3
= 25/4 + 1/12 + 8/3
= 9