（2010•温州一模）在空间直角坐标系O-xyz中，称球面S：x2+y2+z2=1上的点N（0，0，1）为球极，连接点N与A（x，y，0）的直线交球面于A′（x′，y′，z′），那么称A′为A在球面上的球极射影，

Question

（2010•温州一模）在空间直角坐标系O-xyz中，称球面S：x²+y²+z²=1上的点N（0，0，1）为球极，连接点N与A（x，y，0）的直线交球面于
A′（x′，y′，z′），那么称A′为A在球面上的球极射影，下列说法中正确的是______．
（1）xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影关于z轴对称；
（2）在球极射影下，xOy平面上的点与球面S上的点（除球极外）是一一对应的；
（3）点（(1)/(2)，(√(3))/(2)，0）的球极射影为该点本身；
（4）点（2，1，0）的球极射影为（(2)/(3)，(1)/(3)，-(2)/(3)）．

Answer 1

（1）∵xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影与点N构成一个等腰三角形，
等腰三角形的顶点是N，等腰三角形的另外两个点就是xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影，
∴它们关于z轴对称．故（1）正确；
（2）由球极射影的概念知，在球极射影下，xOy平面上的每一个点都在球面上有一个唯一对应的点；
反之，除球极N（0，0，1）之处，球面上的每一个点在xoy平面上都有唯一对应的点．
∴在球极射影下，点xOy平面上的点与球面S上的点（除球极外）是一一对应的．
故（2）正确；
（3）∵点（(1)/(2)，(√(3))/(2)，0）在球面S：x²+y²+z²=1上，
∴点（(1)/(2)，(√(3))/(2)，0）的球极射影还是点（(1)/(2)，(√(3))/(2)，0）
∴它的球极射影为该点本身．故（3）正确；
（4）∵点（2，1，0）的球极射影为（(2)/(3)，(1)/(3)，(2)/(3)）．
而（(2)/(3)，(1)/(3)，(2)/(3)）与（(2)/(3)，(1)/(3)，-(2)/(3)）不重合．
∴（4）不正确．
故正确答案为：（1），（2），（3）．