求曲面(x^2+y^2+z^2)^2=a^3z(a>0)所围成的立体体积如题,利用球面坐标写

Question

求曲面(x^2+y^2+z^2)^2=a^3z(a>0)所围成的立体体积
如题,利用球面坐标写

Answer 1

球面坐标,
(x^2+y^2+z^2)^2=a^3z
可以写作,r^4=a^3rcosφ
得到r=a(cosφ)^(1/3)
因为r>0, 所以φ∈[0,π/2]
V=∫∫∫r^2sinφdrdθdφ=[∫(0->2π)dθ]* [∫(0->π/2)dφ]* [∫(0->a(cosφ)^(1/3)) r^2sinφdr]
=πa^3/3