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∫∫∫Ω(x2+y2+z)dv，其中Ω是由曲线y2＝2zx＝0绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体．
题目详情
| ∫∫∫ |
| Ω |
|
▼优质解答
答案和解析
∵Ω是由曲线
绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体
根据旋转曲面方程可知：
区域Ω即为抛物面：x2+y2=2z与平面：z=4s所围成的闭区域．
引入柱面坐标有：
xrcosθ；
y=rsinθ；
z=z；
显然可知；θ，z的取值范围分别为：
θ∈[0，2π]；z∈[0，4]；
∵x2+y2=（rcosθ）2+（rsinθ）2=r2=2z；
∴r的取值范围为：r∈[0，
]；
dv=rdθdrdz
于是有：
（x2+y2+z）dv=
[（rcosθ）2+（rsinθ）2+z]rdθdrdz
=
[r2+z]rdθdrdz
=
（r3+rz）dθdrdz
=
r3dθdrdz+
rzdθdrdz；
其中：
r3dθdrdz=
dθ
dz
r3dr
=2π•
dz
=2π•
z2dz
=2π•
=
π；
rzdθdrdz=
dθ
dz
rzdr
=2π•
zdz
rdr
=2π•
zdr
=2π•
z2dr
=
π
∴
（x2+y2+z）dv=
r3dθdrdz+
rzdθdrdz
=
π+
π
=
π
|
根据旋转曲面方程可知：
区域Ω即为抛物面：x2+y2=2z与平面：z=4s所围成的闭区域．
引入柱面坐标有：
xrcosθ；
y=rsinθ；
z=z；
显然可知；θ，z的取值范围分别为：
θ∈[0，2π]；z∈[0，4]；
∵x2+y2=（rcosθ）2+（rsinθ）2=r2=2z；
∴r的取值范围为：r∈[0，
| 2z |
dv=rdθdrdz
于是有：
| ∭ |
| Ω |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
=
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
=
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
=
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
其中：
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ |
0 |
=2π•
| ∫ | 4 0 |
| r4 |
| 4 |
| | |
0 |
=2π•
| ∫ | 4 0 |
=2π•
| z3 |
| 3 |
| | | 4 0 |
| 128 |
| 3 |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ |
0 |
=2π•
| ∫ | 4 0 |
| ∫ |
0 |
=2π•
| ∫ | 4 0 |
| r2 |
| 2 |
| | |
0 |
=2π•
| ∫ | 4 0 |
=
| 128 |
| 3 |
∴
| ∭ |
| Ω |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 4 0 |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
=
| 128 |
| 3 |
| 128 |
| 3 |
=
| 256 |
| 3 |
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