计算第二型曲面积分：J=∫∫Sy（x-z）dydz+x2dzdx+（y2+xz）dxdy，其中S是曲面z=5-x2-y2上z≥1的部分，并取外侧．

Question

计算第二型曲面积分：J=

∫∫

S

y（x-z）dydz+x²dzdx+（y²+xz）dxdy，其中S是曲面z=5-x²-y²上z≥1的部分，并取外侧．

Answer 1

补充平面S1：z=1(x2+y2≤4)，取下侧，则S+S₁构成封闭曲面，
设它们所围成的立体区域为Ω={（x，y，z）|1≤z≤5-x²-y²，x²+y²≤4}，它们在xoy面的投影为D={（x，y）|x²+y²≤4}
又由曲面积分J，知P=y（x-z），Q=x²，R=y²+xz
∴P_x+Q_y+R_z=y+0+x=x+y
∴由高斯公式，得
J=

∫∫∫

Ω

(x+y)dxdydz-

∫∫

S1

y（x-z）dydz+x²dzdx+（y²+xz）dxdy
其中

∫∫∫

Ω

(x+y)dxdydz=

∫∫

D

(x+y)dxdy

∫

5-x2-y2 1

dz
=

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

r(sinθ+cosθ)(4-r2)rdr
=[sinθ-cosθ

]

2π 0

[2r2-(1)/(4)r4

]

2 0

=0

∫∫

S1

y（x-z）dydz+x²dzdx+（y²+xz）dxdy=-

∫∫

D

(x+y2)dxdy
=-

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

(rcosθ+r2sin2θ)rdr=-(8π)/(3)
∴J=(8π)/(3)