计算I=∫∫∫Ω(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线y2＝2zx＝0绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z=8所围成的区域．

Question

计算I=

∫∫∫

Ω

(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线

y2＝2z

x＝0

绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z=8所围成的区域．

Answer 1

∵平面曲线

y2＝2z

x＝0

绕z轴旋转一周所成的曲面为x²+y²=2z，
∴积分区域为：
Ω＝(x，y，z)|(x2+y2)/(2)≤z≤8，x2+y2≤16=(r，θ，z)|0≤θ≤2π，0≤r≤4，(r2)/(2)≤z≤8，
从而：I=

∫∫∫

Ω

(x2+y2)dv=

∫

2π 0

dθ

∫

4 0

rdr

∫	8 (r2)/(2)

r2dz＝2π•

∫

4 0

r3(8−(r2)/(2))dr=(1024π)/(3)．