如图轨道ABCD平滑连接，其中AB为光滑的曲面，BC为粗糙水平面且摩擦因数为μ，CD为半径为r内壁光滑四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧（下端固定，上端恰好与D端齐平

Question

如图轨道ABCD平滑连接，其中AB为光滑的曲面，BC为粗糙水平面且摩擦因数为μ，CD为半径为r内壁光滑四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧（下端固定，上端恰好与D端齐平）．质量为m的小球在曲面上距BC高为3r的地方由静止下滑，进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧，压缩过程中速度最大时弹簧弹性势能为E_p．
求：（1）水平面BC的长度s；
（2）小球向下压缩弹簧过程中的最大动能E_Km．

Answer 1

（1）由题知，小球在C点对轨道没有压力，对小球，由牛顿第二定律得：

 mg=m(v2C)/(r)
小球从A运动到C点的过程中，由动能定理：
  mg•3r-μmgs=(1)/(2)m

v

2 C

解得 s=(5r)/(2μ)
（2）小球压缩弹簧时，最大速度时，小球加速度为0，设弹簧压缩量为x．则
  kx=mg
得：x=(mg)/(k)
由C点到最大速度时，小球和弹簧构成的系统机械能守恒：
设最大速度的位置为零势能面，有：
  (1)/(2)m

v

2 C

+mg（r+x）=E_Km+E_p；
解得 E_Km=(3)/(2)mgr+(m2g2)/(k)-E_p．
答：
（1）水平面BC的长度s为(5r)/(2μ)；
（2）小球向下压缩弹簧过程中的最大动能E_Km为(3)/(2)mgr+(m2g2)/(k)-E_p．