一条动直线绕定直线旋转（两直线异面且不垂直）,得到的轨迹是单叶双曲面,如何证明是单叶双曲面

Question

一条动直线绕定直线旋转（两直线异面且不垂直）,得到的轨迹是单叶双曲面,如何证明是单叶双曲面

Answer 1

以l2为x轴建立空间直角坐标系
两直线不垂直,故可以设：l1 的方程为y=k1*x+b1,z=k2*x+b2
则直线l1上的点（x ,y ,z）到x轴的距离为
d=√(y^2+z^2)
d^2=(k1*x+b1)^2+(k2*x+b2)^2
d^2=(k1^2+k2^2)x^2+2(k1*b1+k2*b2)x+b1^2+b2^2
记c=k1^2+k2^2,d=k1*b1+k2*b2,e=b1^2+b2^2
（一堆常数写着麻烦,看着也烦）
d^2=c*x^2+2d*x+e
d^2=c[x+d/c]^2-d^2/c+e
d^2-c[x+d/c]^2=e-d^2/c
d^2/(e-d^2/c) - c[x+d/c]^2/(e-d^2/c) = 1
所以轴截面与旋转体外表面的交线是双曲线的一部分