计算曲面积分∫∫zdxdy,∑为x^2+y^2+z^2=1外侧在第一卦限的部分.

Question

计算曲面积分∫∫zdxdy,∑为x^2+y^2+z^2=1外侧在第一卦限的部分.

Answer 1

补面x = 0,y = 0,z = 0
∫∫(Σ + Σ1 + Σ2 + Σ3) z dxdy,运用高斯公式
= ∫∫∫ 1 dV = ∫∫∫ dV = 1/8 * (4/3)π * 1^3 = π/6
由于其余三个面的积分都等于0
所以∫∫Σ z dxdy = π/6
在xoy面作积分的话：
∫∫Σ z dxdy,Σ：z = √(1 - x² - y²)
= ∫∫D √(1 - x² - y²) dxdy
= ∫(0→π/2) dθ ∫(0→1) √(1 - r²) * r dr
= π/2 * (- 1/2) * (2/3)(1 - r²)^(3/2)：0→1
= π/2 * (- 1/3)(1 - 0)
= π/6