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直线与双曲线相交已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1交于A、B两点.(1)若以线段AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=(1/2)x对称?说明理由.
题目详情
直线与双曲线相交
已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1交于A、B两点.(1)若以线段AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=(1/2)x对称?说明理由.
已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1交于A、B两点.(1)若以线段AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=(1/2)x对称?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
y=kx+1与3x^2-y^2=1联立消去y得:
(3-k^2)x^2 -2kx-2=0,由韦达定理:
x1+x2=2k/(3-k^2),x1·x2=-2/(3-k^2).
1、设A(x1,y1)、B(x2,y2),∵AB为直径的圆过原点,∴x1·x2+y1·y2=0.
其中,y1+y2=k(x1+x2)+2=6/(3-k^2),y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=1.
代入得:k=±1.
2、A,B关于直线y=1/2 *x对称,则AB的斜率=-2,且A、B的中点坐标满足方程y=1/2 *x,即有y1+y2=(x1+x2)/2.
∵k=-2时,y1+y2=-6,(x1+x2)/2=2,-6≠2,∴k不存在.
(3-k^2)x^2 -2kx-2=0,由韦达定理:
x1+x2=2k/(3-k^2),x1·x2=-2/(3-k^2).
1、设A(x1,y1)、B(x2,y2),∵AB为直径的圆过原点,∴x1·x2+y1·y2=0.
其中,y1+y2=k(x1+x2)+2=6/(3-k^2),y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=1.
代入得:k=±1.
2、A,B关于直线y=1/2 *x对称,则AB的斜率=-2,且A、B的中点坐标满足方程y=1/2 *x,即有y1+y2=(x1+x2)/2.
∵k=-2时,y1+y2=-6,(x1+x2)/2=2,-6≠2,∴k不存在.
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