已知直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于A,B两点

Question

已知直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于A,B两点

Answer 1

连接AB,OP,相交于点M
则在平行四边形OABP中,M是AB、OP的公共中点
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
将y=kx+1代入x²+y²=4,整理有
(1+k²)x²+2kx-3=0,
所以,x1+x2=-2k/(1+k²)
∴x0=(x1+x2)/2=-k/(1+k²)
y0=(y1+y2)/2=(kx1+1+kx2+1)/2=1/(k²+1)
两式联立,消掉k,得
x0²+y0²=y0.
设P(x,y),由于M为OP中点,则x0=x/2,y0=y/2,代入上式,整理有
x²+y²-2y=0.
而y0=1/(1+k²),k²≥0,∴0＜y0≤1,0＜y≤2.
故 点P的轨迹方程为 x²+y²-2y=0(0＜y≤2).