如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．

Question

如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 √(3)，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为___．

Answer 1

如图所示：
，
由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4√(3)，得
AD=BE=(√(3))/(2)BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性质，得∠BHD=90°-∠HBD=60°．
由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE-BG=6-2=4．
由GE为边作等边三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
△MHE是等边三角形；
S_△ABC=(1)/(2)AC•BE=(1)/(2)AC×EH×3
EH=(1)/(3)BE=(1)/(3)×6=2．
由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由线段的和差，得IF=FG-IG=4-2=2，
由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由锐角三角函数，得FN=1，IN=√(3)．
S_{五边形NIGHM}=S_△EFG-S_△EMH-S_△FIN
=(√(3))/(4)×4²-(√(3))/(4)×2²-(1)/(2)×√(3)×1=(5√(3))/(2)，
故答案为：

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(5√(3))/(2)