已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．求证：直线O1O2垂直平分AB．

Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点．求证：直线O₁O₂垂直平分AB．

Answer 1

设AB和O₁O₂相交于点M，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B，
∵⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，
∴O₁A=O₁B，O₂B=O₂A，
在△O₁AO₂和△O₁BO₂中，

O1O2＝O1O2

AO1＝BO1

AO2＝BO2

，
∴△O₁AO₂≌△O₁BO₂（SSS），
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，
在△AO₁M和△BO₁M中，

AO1＝BO1

∠AO1M＝∠BO1M

MO1＝MO1

，
∴△AO₁M≌△BO₁M（SAS），
∴AM=BM，∠AMO₁=∠BMO₁，
∴直线O₁O₂垂直平分AB．