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如图,在△ABC中,∠B=60°,角平分线AE、CF分别交BC、AB于E、F两点,AE、CF相交于点O.求证:AC=AF+CE..
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如图,在△ABC中,∠B=60°,角平分线AE、CF分别交BC、AB于E、F两点,AE、CF相交于点O.求证:AC=AF+CE..
▼优质解答
答案和解析
证明:在AC边上取点G,使AG=AF,连接OG
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACB
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC/2,∠ACF=∠BCF=∠ACB/2
∴∠AOF=∠COE=∠CAE+∠ACF=(∠BAC+∠ACB)/2=120°/2=60°
∴∠AOC=180°-∠AOF=180°-60°=120°
∵AG=AF
∴△AOG≌△AOF (SAS)
∴∠AOG=∠AOF=60°
∴∠COG=∠AOC-∠AOG=120°-60°=60°
∴∠COG=∠COE
∵OC=OC
∴△COG≌△COE (ASA)
∴CG=CE
∵AC=AG+CG
∴AC=AF+CE
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACB
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC/2,∠ACF=∠BCF=∠ACB/2
∴∠AOF=∠COE=∠CAE+∠ACF=(∠BAC+∠ACB)/2=120°/2=60°
∴∠AOC=180°-∠AOF=180°-60°=120°
∵AG=AF
∴△AOG≌△AOF (SAS)
∴∠AOG=∠AOF=60°
∴∠COG=∠AOC-∠AOG=120°-60°=60°
∴∠COG=∠COE
∵OC=OC
∴△COG≌△COE (ASA)
∴CG=CE
∵AC=AG+CG
∴AC=AF+CE
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