在三角形ABC中,AB=AC,P为边BC上一点,试求证PA^+PB乘PC=AB^在三角形ABC中,AB=AC,P为边BC上任意一点,连接PA,试求证PA^+PB乘PC=AB^

Question

在三角形ABC中,AB=AC,P为边BC上一点,试求证PA^+PB乘PC=AB^
在三角形ABC中,AB=AC,P为边BC上任意一点,连接PA,试求证PA^+PB乘PC=AB^

Answer 1

作AD垂直BC
设P在BP之间
则PB=BD-PD
PC=CD+PD
且BD=CD
所以PB*PC=(BD-PD)(BD+PD)=BD^2-PD^2
直角三角形ABD中,AD^2=AB^2-BD^2
直角三角形APD中,AD^2=AP^2-PD^2
所以AB^2-BD^2=AP^2-PD^2
所以BD^2-PD^2=AB^2-AP^2
所以PB*PC=AB^2-AP^2
所以AP^2+PB*PC=AB^2
若P在CD之间,则是一样道理
若PD重合
则PB=PC,且AP垂直BC,所以PA^2PB^2=AB^2,即勾股定理,成立
综上
PA^2+PB×PC=AB^2.