如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）求证：FC=3EF．

Question

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：FC=3EF．

Answer 1

（1）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵△ABC∽△FCD，
∴(CD)/(BC)=(FD)/(AC)，
∵D是BC边的中点，
∴BC=2CD，
∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，
∴∠EAD=∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴(EA)/(EC)=(EF)/(EA)=(AF)/(AC)=(1)/(2)，
∴EC=2EA=4EF，
∴FC=3EF．