如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

Question

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2） ∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=√(122+52)=13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=(1)/(2)AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴(BM)/(AF)=(AM)/(AE)，
即(5)/(6.5)=(13)/(AE)，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9．