已知AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD于H．（1）如图1，求证：OH平分∠AHC；（2）如图2，连AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的长．

Question

已知AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD于H．
（1）如图1，求证：OH平分∠AHC；
（2）如图2，连AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的长．

Answer 1

连接AC，BC，AD，OD，OC，
在Rt△ABC和Rt△ADH中，∠ACB=∠AHD=90°，∠ABC=∠ADH（同弧所对圆周角相等），
∴△ABC∽△ADH，
∴∠HAD=∠CAB，
∴∠HAC=∠DAB，
又∵∠DAB=45°（OA，OB，OD是半径，D是半圆中点，△AOD是等腰直角三角形），
∴∠HAC=45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
在△AOH和△COH中，

OA＝OC

OH＝OH

AH＝CH

，
∴△AOH≌△COH（SSS），
∴∠AHO=∠CHO，
∴OH平分∠AHC．

（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分线，
则OH垂直平分AC，交点标注为M，
则MA=MC=MH=(1)/(2)AC=3，
在Rt△ABC中AB=√(AC2+BC2)=2√(13)，
则OA=√(13)，
在Rt△OMA中，OM=√(OA2−MA2)=2，
∴OH=MH-OM=3-2=1．