如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角a（0°<a<60°），旋转过程

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角a（0°<a<60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂，DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求(PM)/(QN)的值；
（3）若图1中∠B=β（60°<β<90°），（2）中的其余条件不变，判断(PM)/(QN)的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE=30°；
（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，
∴∠DMC+∠CND=180°，
∵∠DMC+∠PMD=180°，
∴∠CND=∠PMD，
同理∠CPD=∠DQN，
∴△PMD∽△QND，
过点D分别做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分别为△PMD和△QND的高
∴(PM)/(QN)=(DG)/(DH)，
∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，
∴DG∥BC，
又∵D为AC中点，
∴G为AC中点，
∵∠C=90°，
∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，
Rt△AGD中，(DG)/(AG)=(1)/(√(3))
即(PM)/(QN)=(√(3))/(3)
（3）是定值，定值为tan（90°-β），
∵(PM)/(QN)=(DG)/(DH)，四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，
∴Rt△AGD中，(DG)/(AG)=tan∠A=tan(90°-∠B)=tan(90°-β)，
∴(PM)/(QN)=tan(90°-β)