矩形ABCD中，点E是AD中点，EF⊥CE交AB于F，连CF．（1）求证：EF平分∠AFC；（2）若AFAE=12，求BFCF．

Question

矩形ABCD中，点E是AD中点，EF⊥CE交AB于F，连CF．
（1）求证：EF平分∠AFC；
（2）若(AF)/(AE)=(1)/(2)，求(BF)/(CF)．

Answer 1

（1）延长FE交CD的延长线于点G．
在△AEF和△DEG中，

∠A＝∠EDG

AE＝DE

∠AEF＝∠DEG

，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG，
又∵EF⊥CE，
∴CF=CG，
∴∠G=∠CFG，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFG，即EF平分∠AFC；
（2）设AF=x，
∵(AF)/(AE)=(1)/(2)，
∴AE=2x，则ED=AE=2x，AD=BC=4x．
∵EF⊥CE，即∠CEF=90°，∠AEF+∠CED=90°，
又∵直角△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠CED，
又∵∠A=∠CDE=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴(DE)/(CD)=(AF)/(AE)=(1)/(2)，
∴CD=2DE=4x．
∴CF=CG=CD+DG=5x．
在直角△BCF中，BF=√(CF2−BC2)=3x，
则(BF)/(CF)=(3)/(5)．