如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E，交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG=30°，则下列结论：（1）DC=3OG；（2）OG=12BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE=16S四边形ABCD．

Question

如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E，交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG=30°，则下列结论：（1）DC=3OG；（2）OG=

(1)/(2)BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S_△AOE=(1)/(6)S_{四边形ABCD}．其中正确的个数为（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

∵EF⊥AC，G是AF的中点，
∴AG=OG=GF，
∴∠OAF=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=(1)/(2)AC=OC，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a．
AE=(2√(3))/(3)a，AB=√(3)a，OG=(√(3))/(3)a，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=(√(3))/(3)a≠(1)/(2)a=(1)/(2)BC，故②错误；
易证△FOC≌△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵S_△AOE=(1)/(2)a•(√(3))/(3)=(√(3))/(6)a²，S_矩形ABCD=a•√(3)a=√(3)a²，
∴S_△AOE=(1)/(6)S_矩形ABCD，故④正确．
故选C．