如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中两对相似三角形；（2）连接FG，如果α=45°，AB=42，AF=3，求FG的长．

Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=4√(2)，AF=3，求FG的长．

Answer 1

（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，
（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2√(2)，
∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，
∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，
∴∠AFM=∠GMB，
∴△AMF∽△BGM，
∴(AF)/(AM)＝(BM)/(BG)
∴BG=(AM•BM)/(AF)=(2√(2)×2√(2))/(3)＝(8)/(3)，AC=BC=4√(2)cos45°=4，
∴CG=4-(8)/(3)=(4)/(3)，CF=4-3=1，
∴FG=(5)/(3)．